什么是原码、反码、补码？

第一部分：计算机里的“数字”和“符号”——原码、反码、补码

我们都知道，我们平时用的数字是十进制的，有0到9这十个符号。但计算机可不是这样，它只会“开”和“关”，就像电灯一样。所以，计算机的世界里只有两个数字：0 和 1。

想象一下：

• 0 就是“关”或者“没有电”。
• 1 就是“开”或者“有电”。

计算机的所有信息，包括文字、图片、声音、数字，最后都要变成一串串的 0 和 1，才能被计算机理解和处理。

那么，怎么用 0 和 1 来表示我们熟悉的数字，特别是负数呢？ 这就引出了“原码”、“反码”、“补码”这三种计算机里表示数字的方法。

我们先假设计算机用**8个“小格子”**来存一个数字，就像有8盏小灯泡，每个灯泡只能是亮或灭。

1.1 原码：最“老实”的表示方法

“原码”就像我们平时写数字一样，最直观。

• 表示正数：

  • 第一个小格子（最左边那个）用来表示符号：如果是正数，它就是 0。

  • 剩下的7个小格子就用来表示这个数字有多大。

  • 例子：

    数字

    +5
    

    (正5)

    • 符号位：0 (正数)
    • 数值 5 用7个格子表示是 000 0101 (因为 22+20=4+1=5)
    • 所以，+5 的原码就是：0000 0101

• 表示负数：

  • 第一个小格子也用来表示符号：如果是负数，它就是 1。

  • 剩下的7个小格子同样表示这个数字有多大（是它的“绝对值”）。

  • 例子：

    数字

    -5
    

    (负5)

    • 符号位：1 (负数)
    • 数值 5 还是 000 0101
    • 所以，-5 的原码就是：1000 0101

原码的缺点：

1. “零”有两种表示： +0 是 0000 0000，而 -0 却是 1000 0000。两个不同的表示都代表“零”，这会让计算机很困惑，处理起来很麻烦。
2. 加减法复杂： 如果要用原码直接做加减法，计算机需要先判断是正数还是负数，哪个大哪个小，然后再决定是相加还是相减。这就像我们人工算账一样，比较复杂。

1.2 反码：稍微“聪明”一点的表示方法

“反码”是为了解决原码加减法复杂的问题，迈出了一小步。

• 表示正数：

  • 反码和原码一模一样。 (正数总是最简单，不用变)
  • 例子： +5 的反码：0000 0101 (和原码一样)

• 表示负数：

  • 从这个负数的原码开始，符号位不变（还是 1）。

  • 剩下的7个数值位，全部“取反”：0 变成 1，1 变成 0。

  • 例子：

    −5
    

    的反码

    • 先看 -5 的原码：1000 0101
    • 符号位 1 不变。
    • 数值位 000 0101 全部取反，变成 111 1010。
    • 所以，-5 的反码就是：1111 1010

反码的缺点：

• 虽然加法运算变得稍微简单了，但**“零”仍然有两种表示：**
  • +0 的反码：0000 0000
  • -0 的反码：1111 1111 (因为 -0 原码是 1000 0000，符号位不变，数值位 000 0000 取反就是 111 1111)。
  • 这还是会给计算机带来麻烦。

1.3 补码：计算机里最“实用”的表示方法

“补码”就是为了彻底解决“零”的两种表示和加减法复杂的问题，它是计算机里最主流、最常用的表示方法。

• 表示正数：

  • 补码和原码、反码一模一样。 (正数还是那么老实，没变)
  • 例子： +5 的补码：0000 0101

• 表示负数：

  • 从这个负数的反码开始，末位（最右边那位）加 1。

  • 例子：

    -5
    

    的补码

    • 先看 -5 的反码：1111 1010
    • 末位加 1：1111 1010 + 1 = 1111 1011
    • 所以，-5 的补码就是：1111 1011

补码的优点：

1. “零”的表示是唯一的： 无论是 +0 还是 -0，它们的补码最终都变成了 0000 0000。这样计算机就不用担心有两个零了。

2. 加减法统一：

   最大的优点！有了补码，计算机做加减法就变得非常简单和统一了。比如，计算

   A - B
   

   ，计算机可以直接把它看成

   A + (-B 的补码)
   

   。所有的减法都变成了加法，大大简化了计算机的内部电路。

   • 例子：

     5 + (-5)
     

     (在计算机里就是

     +5
     

     的补码 加上

     -5
     

     的补码)

     • +5 的补码：0000 0101

     • -5 的补码：1111 1011

     • 两者相加：

         0000 0101 (+5)
       + 1111 1011 (-5)
       -----------
       1 0000 0000  (最左边的1溢出，8位只能存后面8位)
       

     • 结果就是 0000 0000，正好是 0 的补码，完美！

总结一下原码、反码、补码的关系（正数都一样，负数按顺序变）：

第二部分：数字的“翻译官”——进制之间的转换

我们平时用的是十进制，但计算机用的是二进制。为了方便人类查看和理解，还会用到八进制和十六进制。它们就像不同的语言，需要有“翻译官”来互相转换。

什么是“进制”？

“进制”就是计算数字时“逢几进一”的规则。

• 十进制 (Decimal)： 逢十进一，用 0-9 十个符号。
• 二进制 (Binary)： 逢二进一，只用 0 和 1 两个符号。
• 八进制 (Octal)： 逢八进一，用 0-7 八个符号。
• 十六进制 (Hexadecimal)： 逢十六进一，用 0-9 和 A-F (A代表10, B代表11, … F代表15) 十六个符号。

2.1 其他进制（二、八、十六）转十进制：用“位值”相加

这个方法很简单，就像我们理解十进制数字一样：一个数字的每一位都有一个“位置价值”（位权）。

方法： 把每个位置上的数字，乘以它对应的“位置价值”，然后全部加起来。

“位置价值”怎么算？就是“进制数”的“位数次方”。

例子：

• 把二进制数 1011 翻译成十进制：

  • 1011
    

    就像是：

    • 最右边的 1 对应 20 (就是 1)
    • 它左边的 1 对应 21 (就是 2)
    • 再左边的 0 对应 22 (就是 4)
    • 最左边的 1 对应 23 (就是 8)

  • 所以：1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

  • 二进制的 1011 就等于十进制的 11。

• 把八进制数 375 翻译成十进制：

  • 375
    

    就像是：

    • 最右边的 5 对应 80 (就是 1)
    • 中间的 7 对应 81 (就是 8)
    • 最左边的 3 对应 82 (就是 64)

  • 所以：3*64 + 7*8 + 5*1 = 192 + 56 + 5 = 253

  • 八进制的 375 就等于十进制的 253。

• 把十六进制数 AF 翻译成十进制：

  • AF
    

    就像是：

    • F (代表 15) 对应 160 (就是 1)
    • A (代表 10) 对应 161 (就是 16)

  • 所以：10*16 + 15*1 = 160 + 15 = 175

  • 十六进制的 AF 就等于十进制的 175。

2.2 十进制转其他进制：用“除法”和“余数”

这个方法就像是把一个大蛋糕（十进制数）分给不同进制的小朋友，看能分多少次，每次剩下多少。

方法： “除以基数取余数，倒着读余数”。

• 用你要转换成的进制的基数（比如转二进制就用2，转八进制就用8，转十六进制就用16）去连续除以十进制整数。
• 每次得到的余数记录下来。
• 一直除到商为0为止。
• 最后，把所有的余数从下往上（倒序）排列起来，就是转换后的结果。

例子：

• 把十进制数 11 翻译成二进制：
  • 11 ÷ 2 = 5 余 1
  • 5 ÷ 2 = 2 余 1
  • 2 ÷ 2 = 1 余 0
  • 1 ÷ 2 = 0 余 1
  • 倒着读余数：1011
  • 所以十进制的 11 就等于二进制的 1011。
• 把十进制数 253 翻译成八进制：
  • 253 ÷ 8 = 31 余 5
  • 31 ÷ 8 = 3 余 7
  • 3 ÷ 8 = 0 余 3
  • 倒着读余数：375
  • 所以十进制的 253 就等于八进制的 375。

2.3 二进制与八进制/十六进制的“快速”翻译（因为是“亲戚”）

二进制、八进制、十六进制之间有一种特殊的“亲戚关系”，因为 8 是 23，16 是 24。这让它们之间的转换变得非常快，就像直接查字典一样。

记住一个对应关系：

• 3 位二进制 = 1 位八进制
• 4 位二进制 = 1 位十六进制

方法：

• 二进制转八进制：

  • 把二进制数字从右往左（或小数点开始）每三位分成一组。

  • 如果最左边不够三位，就在前面补 0。

  • 然后，把每一组三位二进制数分别翻译成一个八进制数字。

  • 例子：

    把二进制

    1011011
    

    转八进制

    • 分组：1 011 011
    • 补零：001 011 011
    • 翻译：001 是 1，011 是 3，011 是 3
    • 所以 1011011 (二进制) = 133 (八进制)

• 八进制转二进制：

  • 把每个八进制数字，都翻译成三位二进制数。

  • 例子：

    把八进制

    133
    

    转二进制

    • 1 是 001
    • 3 是 011
    • 3 是 011
    • 合起来：001011011 (最前面的0可以省略) = 1011011 (二进制)

• 二进制转十六进制：

  • 把二进制数字从右往左（或小数点开始）每四位分成一组。

  • 如果最左边不够四位，就在前面补 0。

  • 然后，把每一组四位二进制数分别翻译成一个十六进制数字。

  • 例子：

    把二进制

    101101101
    

    转十六进制

    • 分组：1 0110 1101
    • 补零：0001 0110 1101
    • 翻译：0001 是 1，0110 是 6，1101 是 D (代表13)
    • 所以 101101101 (二进制) = 16D (十六进制)

• 十六进制转二进制：

  • 把每个十六进制数字，都翻译成四位二进制数。

  • 例子：

    把十六进制

    16D
    

    转二进制

    • 1 是 0001
    • 6 是 0110
    • D (13) 是 1101
    • 合起来：000101101101 (最前面的0可以省略) = 101101101 (二进制)

8421 法：二进制和十进制的“速查表”

“8421 法”是专门用来快速地在4位二进制数和十进制数之间进行转换的方法。它基于二进制数的“位值”概念，也就是我们之前说的“位置价值”。

请看这张“魔术卡片”：

它的意思就是：

• 最右边的小格子（第1位）如果亮了 (是1)，它代表的值就是 1。
• 往左边数第二个小格子（第2位）如果亮了 (是1)，它代表的值就是 2。
• 往左边数第三个小格子（第3位）如果亮了 (是1)，它代表的值就是 4。
• 最左边的小格子（第4位）如果亮了 (是1)，它代表的值就是 8。

如果一个小格子灭了 (是0)，那它就不代表任何值。

2.1 二进制转十进制 (用8421法)：看亮灯，加数字

方法：

1. 把一个4位二进制数，套到“8421”这四个位值下面。
2. 哪个位上的灯是“1”（亮了），就把对应的位值加起来。
3. 哪个位上的灯是“0”（灭了），就不用加。

例子：

• 二进制 0101 (4位) 转十进制：

  位值： 8   4   2   1
  数字： 0   1   0   1
  

  • 0 在 8 的位置 (灭了，不加 8)
  • 1 在 4 的位置 (亮了，加 4)
  • 0 在 2 的位置 (灭了，不加 2)
  • 1 在 1 的位置 (亮了，加 1)
  • 所以，$0101\_2 = 4 + 1 = 5\_{10}$。 (是不是很快？)

• 二进制 1100 (4位) 转十进制：

  位值： 8   4   2   1
  数字： 1   1   0   0
  

  • 1 在 8 的位置 (亮了，加 8)
  • 1 在 4 的位置 (亮了，加 4)
  • 0 在 2 的位置 (灭了，不加 2)
  • 0 在 1 的位置 (灭了，不加 1)
  • 所以，$1100\_2 = 8 + 4 = 12\_{10}$。

• 二进制 0000 到 1111 的全部对应：

  0000 -> 0
  0001 -> 1
  0010 -> 2
  0011 -> 3 (2+1)
  0100 -> 4
  0101 -> 5 (4+1)
  0110 -> 6 (4+2)
  0111 -> 7 (4+2+1)
  1000 -> 8
  1001 -> 9 (8+1)
  1010 -> 10 (8+2)
  1011 -> 11 (8+2+1)
  1100 -> 12 (8+4)
  1101 -> 13 (8+4+1)
  1110 -> 14 (8+4+2)
  1111 -> 15 (8+4+2+1)
  

2.2 十进制转二进制 (用8421法)：凑数字，开电灯

方法：

1. 拿到一个十进制数（只能是 0 到 15 之间的），看看它能由 8、4、2、1 哪些数字组合而成。
2. 如果用到了某个位值，那个位置的二进制就是“1”（灯亮）。
3. 如果没用到，那个位置的二进制就是“0”（灯灭）。

例子：

• 十进制 7 转二进制：

  • 7 = 4 + 2 + 1
  • 所以，4、2、1 的位置亮灯，8 的位置灭灯。
  • 结果是：0111。

• 十进制 13 转二进制：

  • 13 = 8 + 4 + 1
  • 所以，8、4、1 的位置亮灯，2 的位置灭灯。
  • 结果是：1101。

8421 法和八进制/十六进制的“亲戚关系”

8421 法不仅仅能帮我们翻译4位二进制和十进制，它也是二进制和八进制/十六进制快速转换的基础！

我们再来看看这个图：

你看，每一位十六进制数，直接就对应了四位二进制数（正好是 8421 法能表示的范围）。每一位八进制数，直接就对应了三位二进制数（8421 法的前三位，或者说 421 法）。

所以，当你需要转换：

• 二进制到十六进制：

  • 从右边开始，把二进制数每四位分成一组。
  • 每组用 8421 法快速翻译成一个十六进制数字。
  • 例子： 1101011010110 (二进制)
    • 分组：110 1011 0101 1010
    • 补零：0110 1011 0101 1010
    • 翻译：6 B 5 A
    • 所以，$1101011010110\_2 = 6B5A\_{16}$

• 十六进制到二进制：

  • 把每个十六进制数字，直接用 8421 法翻译成四位二进制数。
  • 例子： F3A (十六进制)
    • F (15) -> 1111
    • 3 -> 0011
    • A (10) -> 1010
    • 合起来：111100111010 (二进制)

总结：

8421 法就像一个方便的小工具，让你在 0-15 范围内的十进制数和 4 位二进制数之间快速切换。而这种“按固定位数分组”的思维，正是二进制、八进制和十六进制之间快速转换的秘密。